Resolver {c}{x+y=64}{12x+26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x + 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{235}{2} = 117\frac{1}{2} = 117.5$$

$$y = -\frac{107}{2} = -53\frac{1}{2} = -53.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=64$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+64$$

Substitúe x por -y+64 na outra ecuación, 12x+26y=19.

$$12\left(-y+64\right)+26y=19$$

Multiplica 12 por -y+64.

$$-12y+768+26y=19$$

Suma -12y a 26y.

$$14y+768=19$$

Resta 768 en ambos lados da ecuación.

$$14y=-749$$

Divide ambos lados entre 14.

$$y=-\frac{107}{2}$$

Substitúe y por -\frac{107}{2} en x=-y+64. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-\frac{107}{2}\right)+64$$

Multiplica -1 por -\frac{107}{2}.

$$x=\frac{107}{2}+64$$

Suma 64 a \frac{107}{2}.

$$x=\frac{235}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{26-12}&-\frac{1}{26-12}\\-\frac{12}{26-12}&\frac{1}{26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{1}{14}\times 19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{1}{14}\times 19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{235}{2}\\-\frac{107}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Para que x e 12x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 12 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$12x+12y=12\times 64,12x+26y=19$$

Simplifica.

$$12x+12y=768,12x+26y=19$$

Resta 12x+26y=19 de 12x+12y=768 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+12y-26y=768-19$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y-26y=768-19$$

Suma 12y a -26y.

$$-14y=768-19$$

Suma 768 a -19.

$$-14y=749$$

Divide ambos lados entre -14.

$$y=-\frac{107}{2}$$

Substitúe y por -\frac{107}{2} en 12x+26y=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$12x+26\left(-\frac{107}{2}\right)=19$$

Multiplica 26 por -\frac{107}{2}.

$$12x-1391=19$$

Suma 1391 en ambos lados da ecuación.

$$12x=1410$$

Divide ambos lados entre 12.

$$x=\frac{235}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$