Resolver {c}{x+y=500}{50x+80y=28000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=400$$

$$y=100$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=500$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+500$$

Substitúe x por -y+500 na outra ecuación, 50x+80y=28000.

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

Multiplica 50 por -y+500.

$$-50y+25000+80y=28000$$

Suma -50y a 80y.

$$30y+25000=28000$$

Resta 25000 en ambos lados da ecuación.

$$30y=3000$$

Divide ambos lados entre 30.

$$y=100$$

Substitúe y por 100 en x=-y+500. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-100+500$$

Suma 500 a -100.

$$x=400$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=400,y=100$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=400,y=100$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Para que x e 50x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 50 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

Simplifica.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

Resta 50x+80y=28000 de 50x+50y=25000 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

Suma 50x a -50x. 50x e -50x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$50y-80y=25000-28000$$

Suma 50y a -80y.

$$-30y=25000-28000$$

Suma 25000 a -28000.

$$-30y=-3000$$

Divide ambos lados entre -30.

$$y=100$$

Substitúe y por 100 en 50x+80y=28000. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$50x+80\times 100=28000$$

Multiplica 80 por 100.

$$50x+8000=28000$$

Resta 8000 en ambos lados da ecuación.

$$50x=20000$$

Divide ambos lados entre 50.

$$x=400$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=400,y=100$$