Resolver {c}{x+y=50}{300x+200y=11500}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 50 } \\ { 300 x + 200 y = 11500 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=15$$

$$y=35$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=50$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+50$$

Substitúe x por -y+50 na outra ecuación, 300x+200y=11500.

$$300\left(-y+50\right)+200y=11500$$

Multiplica 300 por -y+50.

$$-300y+15000+200y=11500$$

Suma -300y a 200y.

$$-100y+15000=11500$$

Resta 15000 en ambos lados da ecuación.

$$-100y=-3500$$

Divide ambos lados entre -100.

$$y=35$$

Substitúe y por 35 en x=-y+50. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-35+50$$

Suma 50 a -35.

$$x=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=15,y=35$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200-300}&-\frac{1}{200-300}\\-\frac{300}{200-300}&\frac{1}{200-300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{100}\\3&-\frac{1}{100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 50+\frac{1}{100}\times 11500\\3\times 50-\frac{1}{100}\times 11500\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\35\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=15,y=35$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Para que x e 300x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 300 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$300x+300y=300\times 50,300x+200y=11500$$

Simplifica.

$$300x+300y=15000,300x+200y=11500$$

Resta 300x+200y=11500 de 300x+300y=15000 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$300x-300x+300y-200y=15000-11500$$

Suma 300x a -300x. 300x e -300x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$300y-200y=15000-11500$$

Suma 300y a -200y.

$$100y=15000-11500$$

Suma 15000 a -11500.

$$100y=3500$$

Divide ambos lados entre 100.

$$y=35$$

Substitúe y por 35 en 300x+200y=11500. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$300x+200\times 35=11500$$

Multiplica 200 por 35.

$$300x+7000=11500$$

Resta 7000 en ambos lados da ecuación.

$$300x=4500$$

Divide ambos lados entre 300.

$$x=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=15,y=35$$