Resolver {c}{x+y=5.90}{2x+4y=16.80}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 5.90 } \\ { 2 x + 4 y = 16.80 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3.4$$

$$y=2.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=5.9,2x+4y=16.8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=5.9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+5.9$$

Substitúe x por -y+5.9 na outra ecuación, 2x+4y=16.8.

$$2\left(-y+5.9\right)+4y=16.8$$

Multiplica 2 por -y+5.9.

$$-2y+11.8+4y=16.8$$

Suma -2y a 4y.

$$2y+11.8=16.8$$

Resta 11.8 en ambos lados da ecuación.

$$2y=5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{5}{2}$$

Substitúe y por \frac{5}{2} en x=-y+5.9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}+5.9$$

Suma 5.9 a -\frac{5}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{17}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{17}{5},y=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=5.9,2x+4y=16.8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5.9\\16.8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5.9-\frac{1}{2}\times 16.8\\-5.9+\frac{1}{2}\times 16.8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{5}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{17}{5},y=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=5.9,2x+4y=16.8$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2y=2\times 5.9,2x+4y=16.8$$

Simplifica.

$$2x+2y=11.8,2x+4y=16.8$$

Resta 2x+4y=16.8 de 2x+2y=11.8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+2y-4y=\frac{59-84}{5}$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-4y=\frac{59-84}{5}$$

Suma 2y a -4y.

$$-2y=\frac{59-84}{5}$$

Suma 11.8 a -16.8 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-2y=-5$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=\frac{5}{2}$$

Substitúe y por \frac{5}{2} en 2x+4y=16.8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+4\times \frac{5}{2}=16.8$$

Multiplica 4 por \frac{5}{2}.

$$2x+10=16.8$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$2x=6.8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=3.4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3.4,y=\frac{5}{2}$$