Resolver {c}{x+y=27}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 27 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=17$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=27$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+27$$

Substitúe x por -y+27 na outra ecuación, 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+27\right)+0.05y=3.35$$

Multiplica 0.25 por -y+27.

$$-0.25y+6.75+0.05y=3.35$$

Suma -\frac{y}{4} a \frac{y}{20}.

$$-0.2y+6.75=3.35$$

Resta 6.75 en ambos lados da ecuación.

$$-0.2y=-3.4$$

Multiplica ambos lados por -5.

$$y=17$$

Substitúe y por 17 en x=-y+27. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-17+27$$

Suma 27 a -17.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=17$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 27+5\times 3.35\\1.25\times 27-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=17$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Para que x e \frac{x}{4} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 0.25 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 27,0.25x+0.05y=3.35$$

Simplifica.

$$0.25x+0.25y=6.75,0.25x+0.05y=3.35$$

Resta 0.25x+0.05y=3.35 de 0.25x+0.25y=6.75 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

Suma \frac{x}{4} a -\frac{x}{4}. \frac{x}{4} e -\frac{x}{4} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

Suma \frac{y}{4} a -\frac{y}{20}.

$$0.2y=6.75-3.35$$

Suma 6.75 a -3.35 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$0.2y=3.4$$

Multiplica ambos lados por 5.

$$y=17$$

Substitúe y por 17 en 0.25x+0.05y=3.35. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$0.25x+0.05\times 17=3.35$$

Multiplica 0.05 por 17.

$$0.25x+0.85=3.35$$

Resta 0.85 en ambos lados da ecuación.

$$0.25x=2.5$$

Multiplica ambos lados por 4.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=17$$