Resolver {c}{x+5y=12}{3x+4y=9}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 5 y = 12 } \\ { 3 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

$$y = \frac{27}{11} = 2\frac{5}{11} \approx 2.454545455$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+5y=12,3x+4y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+5y=12$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$x=-5y+12$$

Substitúe x por -5y+12 na outra ecuación, 3x+4y=9.

$$3\left(-5y+12\right)+4y=9$$

Multiplica 3 por -5y+12.

$$-15y+36+4y=9$$

Suma -15y a 4y.

$$-11y+36=9$$

Resta 36 en ambos lados da ecuación.

$$-11y=-27$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=\frac{27}{11}$$

Substitúe y por \frac{27}{11} en x=-5y+12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5\times \frac{27}{11}+12$$

Multiplica -5 por \frac{27}{11}.

$$x=-\frac{135}{11}+12$$

Suma 12 a -\frac{135}{11}.

$$x=-\frac{3}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{3}{11},y=\frac{27}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+5y=12,3x+4y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\times 12+\frac{5}{11}\times 9\\\frac{3}{11}\times 12-\frac{1}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{27}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{3}{11},y=\frac{27}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+5y=12,3x+4y=9$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\times 5y=3\times 12,3x+4y=9$$

Simplifica.

$$3x+15y=36,3x+4y=9$$

Resta 3x+4y=9 de 3x+15y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+15y-4y=36-9$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y-4y=36-9$$

Suma 15y a -4y.

$$11y=36-9$$

Suma 36 a -9.

$$11y=27$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=\frac{27}{11}$$

Substitúe y por \frac{27}{11} en 3x+4y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\times \frac{27}{11}=9$$

Multiplica 4 por \frac{27}{11}.

$$3x+\frac{108}{11}=9$$

Resta \frac{108}{11} en ambos lados da ecuación.

$$3x=-\frac{9}{11}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-\frac{3}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{3}{11},y=\frac{27}{11}$$