Resolver {c}{x+3y=14}{4x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 3 y = 14 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+3y=14$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=-3y+14$$

Substitúe x por -3y+14 na outra ecuación, 4x-y=4.

$$4\left(-3y+14\right)-y=4$$

Multiplica 4 por -3y+14.

$$-12y+56-y=4$$

Suma -12y a -y.

$$-13y+56=4$$

Resta 56 en ambos lados da ecuación.

$$-13y=-52$$

Divide ambos lados entre -13.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=-3y+14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3\times 4+14$$

Multiplica -3 por 4.

$$x=-12+14$$

Suma 14 a -12.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 4\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=4$$

Simplifica.

$$4x+12y=56,4x-y=4$$

Resta 4x-y=4 de 4x+12y=56 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+12y+y=56-4$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y+y=56-4$$

Suma 12y a y.

$$13y=56-4$$

Suma 56 a -4.

$$13y=52$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 4x-y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-4=4$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$4x=8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=4$$