Resolver {c}{x+2y=50}{2x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 2 y = 50 } \\ { 2 x + y = 40 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=20$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=50,2x+y=40$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=50$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+50$$

Substitúe x por -2y+50 na outra ecuación, 2x+y=40.

$$2\left(-2y+50\right)+y=40$$

Multiplica 2 por -2y+50.

$$-4y+100+y=40$$

Suma -4y a y.

$$-3y+100=40$$

Resta 100 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-60$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=20$$

Substitúe y por 20 en x=-2y+50. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times 20+50$$

Multiplica -2 por 20.

$$x=-40+50$$

Suma 50 a -40.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=20$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=50,2x+y=40$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 2}&-\frac{2}{1-2\times 2}\\-\frac{2}{1-2\times 2}&\frac{1}{1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 50+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{2}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=20$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=50,2x+y=40$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\times 2y=2\times 50,2x+y=40$$

Simplifica.

$$2x+4y=100,2x+y=40$$

Resta 2x+y=40 de 2x+4y=100 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+4y-y=100-40$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-y=100-40$$

Suma 4y a -y.

$$3y=100-40$$

Suma 100 a -40.

$$3y=60$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=20$$

Substitúe y por 20 en 2x+y=40. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+20=40$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$2x=20$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=20$$