Resolver {c}{x+14-y=4(3-y)}{3x+2y=2x-4y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 14 - y = 4 ( 3 - y ) } \\ { 3 x + 2 y = 2 x - 4 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 3-y.

$$x+14-y=12-4y$$

Engadir 4y en ambos lados.

$$x+14-y+4y=12$$

Combina -y e 4y para obter 3y.

$$x+14+3y=12$$

Resta 14 en ambos lados.

$$x+3y=12-14$$

Resta 14 de 12 para obter -2.

$$x+3y=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$3x+2y-2x=-4y$$

Combina 3x e -2x para obter x.

$$x+2y=-4y$$

Engadir 4y en ambos lados.

$$x+2y+4y=0$$

Combina 2y e 4y para obter 6y.

$$x+6y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+3y=-2,x+6y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+3y=-2$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=-3y-2$$

Substitúe x por -3y-2 na outra ecuación, x+6y=0.

$$-3y-2+6y=0$$

Suma -3y a 6y.

$$3y-2=0$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$3y=2$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{2}{3}$$

Substitúe y por \frac{2}{3} en x=-3y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3\times \frac{2}{3}-2$$

Multiplica -3 por \frac{2}{3}.

$$x=-2-2$$

Suma -2 a -2.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=\frac{2}{3}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 3-y.

$$x+14-y=12-4y$$

Engadir 4y en ambos lados.

$$x+14-y+4y=12$$

Combina -y e 4y para obter 3y.

$$x+14+3y=12$$

Resta 14 en ambos lados.

$$x+3y=12-14$$

Resta 14 de 12 para obter -2.

$$x+3y=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$3x+2y-2x=-4y$$

Combina 3x e -2x para obter x.

$$x+2y=-4y$$

Engadir 4y en ambos lados.

$$x+2y+4y=0$$

Combina 2y e 4y para obter 6y.

$$x+6y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+3y=-2,x+6y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\1&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6-3}&-\frac{3}{6-3}\\-\frac{1}{6-3}&\frac{1}{6-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-2\right)\\-\frac{1}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=\frac{2}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 3-y.

$$x+14-y=12-4y$$

Engadir 4y en ambos lados.

$$x+14-y+4y=12$$

Combina -y e 4y para obter 3y.

$$x+14+3y=12$$

Resta 14 en ambos lados.

$$x+3y=12-14$$

Resta 14 de 12 para obter -2.

$$x+3y=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$3x+2y-2x=-4y$$

Combina 3x e -2x para obter x.

$$x+2y=-4y$$

Engadir 4y en ambos lados.

$$x+2y+4y=0$$

Combina 2y e 4y para obter 6y.

$$x+6y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+3y=-2,x+6y=0$$

Resta x+6y=0 de x+3y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+3y-6y=-2$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-6y=-2$$

Suma 3y a -6y.

$$-3y=-2$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=\frac{2}{3}$$

Substitúe y por \frac{2}{3} en x+6y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+6\times \frac{2}{3}=0$$

Multiplica 6 por \frac{2}{3}.

$$x+4=0$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=\frac{2}{3}$$