Resolver {c}{q+r=9}{10q-r=2}

$$\left. \begin{array} { c } { q + r = 9 } \\ { 10 q - r = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver q, r

$$r=8$$

$$q=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$q+r=9,10q-r=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a q mediante o illamento de q no lado esquerdo do signo igual.

$$q+r=9$$

Resta r en ambos lados da ecuación.

$$q=-r+9$$

Substitúe q por -r+9 na outra ecuación, 10q-r=2.

$$10\left(-r+9\right)-r=2$$

Multiplica 10 por -r+9.

$$-10r+90-r=2$$

Suma -10r a -r.

$$-11r+90=2$$

Resta 90 en ambos lados da ecuación.

$$-11r=-88$$

Divide ambos lados entre -11.

$$r=8$$

Substitúe r por 8 en q=-r+9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar q directamente.

$$q=-8+9$$

Suma 9 a -8.

$$q=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$q=1,r=8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$q+r=9,10q-r=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-10}&-\frac{1}{-1-10}\\-\frac{10}{-1-10}&\frac{1}{-1-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{10}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 9+\frac{1}{11}\times 2\\\frac{10}{11}\times 9-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz q e r.

$$q=1,r=8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$q+r=9,10q-r=2$$

Para que q e 10q sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 10 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$10q+10r=10\times 9,10q-r=2$$

Simplifica.

$$10q+10r=90,10q-r=2$$

Resta 10q-r=2 de 10q+10r=90 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10q-10q+10r+r=90-2$$

Suma 10q a -10q. 10q e -10q anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10r+r=90-2$$

Suma 10r a r.

$$11r=90-2$$

Suma 90 a -2.

$$11r=88$$

Divide ambos lados entre 11.

$$r=8$$

Substitúe r por 8 en 10q-r=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar q directamente.

$$10q-8=2$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$10q=10$$

Divide ambos lados entre 10.

$$q=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$q=1,r=8$$