Resolver {c}{a=b-10}{7a+7b=462}

$$\left. \begin{array} { c } { a = b - 10 } \\ { 7 a + 7 b = 462 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=28$$

$$b=38$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta b en ambos lados.

$$a-b=-10$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$a-b=-10,7a+7b=462$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$a-b=-10$$

Suma b en ambos lados da ecuación.

$$a=b-10$$

Substitúe a por b-10 na outra ecuación, 7a+7b=462.

$$7\left(b-10\right)+7b=462$$

Multiplica 7 por b-10.

$$7b-70+7b=462$$

Suma 7b a 7b.

$$14b-70=462$$

Suma 70 en ambos lados da ecuación.

$$14b=532$$

Divide ambos lados entre 14.

$$b=38$$

Substitúe b por 38 en a=b-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=38-10$$

Suma -10 a 38.

$$a=28$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=28,b=38$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta b en ambos lados.

$$a-b=-10$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$a-b=-10,7a+7b=462$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\462\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\462\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\462\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\462\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{7-\left(-7\right)}&\frac{1}{7-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\462\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{14}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\462\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-10\right)+\frac{1}{14}\times 462\\-\frac{1}{2}\left(-10\right)+\frac{1}{14}\times 462\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\38\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=28,b=38$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta b en ambos lados.

$$a-b=-10$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$a-b=-10,7a+7b=462$$

Para que a e 7a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$7a+7\left(-1\right)b=7\left(-10\right),7a+7b=462$$

Simplifica.

$$7a-7b=-70,7a+7b=462$$

Resta 7a+7b=462 de 7a-7b=-70 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7a-7a-7b-7b=-70-462$$

Suma 7a a -7a. 7a e -7a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-7b-7b=-70-462$$

Suma -7b a -7b.

$$-14b=-70-462$$

Suma -70 a -462.

$$-14b=-532$$

Divide ambos lados entre -14.

$$b=38$$

Substitúe b por 38 en 7a+7b=462. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$7a+7\times 38=462$$

Multiplica 7 por 38.

$$7a+266=462$$

Resta 266 en ambos lados da ecuación.

$$7a=196$$

Divide ambos lados entre 7.

$$a=28$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=28,b=38$$