Resolver {c}{8x+6y=-10}{-8x-5y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 6 y = - 10 } \\ { - 8 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x+6y=-10$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$8x=-6y-10$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-6y-10\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por -6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

Substitúe x por \frac{-3y-5}{4} na outra ecuación, -8x-5y=15.

$$-8\left(-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}\right)-5y=15$$

Multiplica -8 por \frac{-3y-5}{4}.

$$6y+10-5y=15$$

Suma 6y a -5y.

$$y+10=15$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5-\frac{5}{4}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por 5.

$$x=\frac{-15-5}{4}$$

Suma -\frac{5}{4} a -\frac{15}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&-\frac{6}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&\frac{8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 15\\-10+15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Para que 8x e -8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -8 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$-8\times 8x-8\times 6y=-8\left(-10\right),8\left(-8\right)x+8\left(-5\right)y=8\times 15$$

Simplifica.

$$-64x-48y=80,-64x-40y=120$$

Resta -64x-40y=120 de -64x-48y=80 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-64x+64x-48y+40y=80-120$$

Suma -64x a 64x. -64x e 64x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-48y+40y=80-120$$

Suma -48y a 40y.

$$-8y=80-120$$

Suma 80 a -120.

$$-8y=-40$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en -8x-5y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-8x-5\times 5=15$$

Multiplica -5 por 5.

$$-8x-25=15$$

Suma 25 en ambos lados da ecuación.

$$-8x=40$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=5$$