Resolver {c}{7x+5y=54}{3x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { 3 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+5y=54$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-5y+54$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -5y+54.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

Substitúe x por \frac{-5y+54}{7} na outra ecuación, 3x+4y=38.

$$3\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+4y=38$$

Multiplica 3 por \frac{-5y+54}{7}.

$$-\frac{15}{7}y+\frac{162}{7}+4y=38$$

Suma -\frac{15y}{7} a 4y.

$$\frac{13}{7}y+\frac{162}{7}=38$$

Resta \frac{162}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{7}y=\frac{104}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{7}\times 8+\frac{54}{7}$$

Multiplica -\frac{5}{7} por 8.

$$x=\frac{-40+54}{7}$$

Suma \frac{54}{7} a -\frac{40}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{7\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{7\times 4-5\times 3}&\frac{7}{7\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{7}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 54-\frac{5}{13}\times 38\\-\frac{3}{13}\times 54+\frac{7}{13}\times 38\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Para que 7x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$3\times 7x+3\times 5y=3\times 54,7\times 3x+7\times 4y=7\times 38$$

Simplifica.

$$21x+15y=162,21x+28y=266$$

Resta 21x+28y=266 de 21x+15y=162 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$21x-21x+15y-28y=162-266$$

Suma 21x a -21x. 21x e -21x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y-28y=162-266$$

Suma 15y a -28y.

$$-13y=162-266$$

Suma 162 a -266.

$$-13y=-104$$

Divide ambos lados entre -13.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en 3x+4y=38. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\times 8=38$$

Multiplica 4 por 8.

$$3x+32=38$$

Resta 32 en ambos lados da ecuación.

$$3x=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=8$$