Resolver {c}{6x-2y=5}{3x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 6 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x-2y=5$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$6x=2y+5$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por 2y+5.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}$$

Substitúe x por \frac{y}{3}+\frac{5}{6} na outra ecuación, 3x-2y=2.

$$3\left(\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}\right)-2y=2$$

Multiplica 3 por \frac{y}{3}+\frac{5}{6}.

$$y+\frac{5}{2}-2y=2$$

Suma y a -2y.

$$-y+\frac{5}{2}=2$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-y=-\frac{1}{2}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=\frac{1}{2}$$

Substitúe y por \frac{1}{2} en x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{6}$$

Multiplica \frac{1}{3} por \frac{1}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1+5}{6}$$

Suma \frac{5}{6} a \frac{1}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{6}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 2\\\frac{1}{2}\times 5-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

Resta 3x-2y=2 de 6x-2y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-3x-2y+2y=5-2$$

Suma -2y a 2y. -2y e 2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6x-3x=5-2$$

Suma 6x a -3x.

$$3x=5-2$$

Suma 5 a -2.

$$3x=3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en 3x-2y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3-2y=2$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=-1$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$