Resolver {c}{40x+60y=480}{30x+15y=180}

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$40x+60y=480$$

Resta 60y en ambos lados da ecuación.

$$40x=-60y+480$$

Divide ambos lados entre 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

Multiplica \frac{1}{40} por -60y+480.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+12 na outra ecuación, 30x+15y=180.

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

Multiplica 30 por -\frac{3y}{2}+12.

$$-45y+360+15y=180$$

Suma -45y a 15y.

$$-30y+360=180$$

Resta 360 en ambos lados da ecuación.

$$-30y=-180$$

Divide ambos lados entre -30.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-\frac{3}{2}y+12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 6.

$$x=-9+12$$

Suma 12 a -9.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Para que 40x e 30x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 30 e todos os termos a cada lado da segunda por 40.

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

Simplifica.

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

Resta 1200x+600y=7200 de 1200x+1800y=14400 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

Suma 1200x a -1200x. 1200x e -1200x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$1800y-600y=14400-7200$$

Suma 1800y a -600y.

$$1200y=14400-7200$$

Suma 14400 a -7200.

$$1200y=7200$$

Divide ambos lados entre 1200.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 30x+15y=180. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$30x+15\times 6=180$$

Multiplica 15 por 6.

$$30x+90=180$$

Resta 90 en ambos lados da ecuación.

$$30x=90$$

Divide ambos lados entre 30.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=6$$