Resolver {c}{4x+5y=6}{x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{27}{23} = 1\frac{4}{23} \approx 1.173913043$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+5y=6$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-5y+6$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -5y+6.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

Substitúe x por -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} na outra ecuación, x+7y=3.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}+7y=3$$

Suma -\frac{5y}{4} a 7y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{3}{2}=3$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{23}{4}y=\frac{3}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{23}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{6}{23}$$

Substitúe y por \frac{6}{23} en x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{6}{23}+\frac{3}{2}$$

Multiplica -\frac{5}{4} por \frac{6}{23} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{15}{46}+\frac{3}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a -\frac{15}{46} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{27}{23}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5}&-\frac{5}{4\times 7-5}\\-\frac{1}{4\times 7-5}&\frac{4}{4\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 6-\frac{5}{23}\times 3\\-\frac{1}{23}\times 6+\frac{4}{23}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Para que 4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$4x+5y=6,4x+4\times 7y=4\times 3$$

Simplifica.

$$4x+5y=6,4x+28y=12$$

Resta 4x+28y=12 de 4x+5y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+5y-28y=6-12$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y-28y=6-12$$

Suma 5y a -28y.

$$-23y=6-12$$

Suma 6 a -12.

$$-23y=-6$$

Divide ambos lados entre -23.

$$y=\frac{6}{23}$$

Substitúe y por \frac{6}{23} en x+7y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+7\times \frac{6}{23}=3$$

Multiplica 7 por \frac{6}{23}.

$$x+\frac{42}{23}=3$$

Resta \frac{42}{23} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{27}{23}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$