Resolver {c}{4x+3y=13}{x+3y=10}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { x + 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+3y=13$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-3y+13$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -3y+13.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

Substitúe x por \frac{-3y+13}{4} na outra ecuación, x+3y=10.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}+3y=10$$

Suma -\frac{3y}{4} a 3y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}=10$$

Resta \frac{13}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{9}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{13}{4}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por 3.

$$x=\frac{-9+13}{4}$$

Suma \frac{13}{4} a -\frac{9}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3}&-\frac{3}{4\times 3-3}\\-\frac{1}{4\times 3-3}&\frac{4}{4\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 13-\frac{1}{3}\times 10\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{4}{9}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

Resta x+3y=10 de 4x+3y=13 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-x+3y-3y=13-10$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4x-x=13-10$$

Suma 4x a -x.

$$3x=13-10$$

Suma 13 a -10.

$$3x=3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en x+3y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$1+3y=10$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$3y=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=3$$