Resolver {c}{4x+2y=50}{x+y=20}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 50 } \\ { x + y = 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=15$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+2y=50$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-2y+50$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+50\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -2y+50.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+25}{2} na outra ecuación, x+y=20.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}+y=20$$

Suma -\frac{y}{2} a y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}=20$$

Resta \frac{25}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=15$$

Substitúe y por 15 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 15+\frac{25}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 15.

$$x=\frac{-15+25}{2}$$

Suma \frac{25}{2} a -\frac{15}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=15$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 50-20\\-\frac{1}{2}\times 50+2\times 20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=15$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

Para que 4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$4x+2y=50,4x+4y=4\times 20$$

Simplifica.

$$4x+2y=50,4x+4y=80$$

Resta 4x+4y=80 de 4x+2y=50 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+2y-4y=50-80$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-4y=50-80$$

Suma 2y a -4y.

$$-2y=50-80$$

Suma 50 a -80.

$$-2y=-30$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=15$$

Substitúe y por 15 en x+y=20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+15=20$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=15$$