Resolver {c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131}

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3.9x+y=359.7$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3.9x=-y+359.7$$

Divide ambos lados da ecuación entre 3.9, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

Multiplica \frac{10}{39} por -y+359.7.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

Substitúe x por -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} na outra ecuación, -1.8x-y=-131.

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

Multiplica -1.8 por -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

Suma \frac{6y}{13} a -y.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

Suma \frac{10791}{65} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{13}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

Substitúe y por -\frac{2276}{35} en x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

Multiplica -\frac{10}{39} por -\frac{2276}{35} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

Suma \frac{1199}{13} a \frac{4552}{273} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{2287}{21}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Para que \frac{39x}{10} e -\frac{9x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1.8 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.9.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

Simplifica.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

Resta -7.02x-3.9y=-510.9 de -7.02x-1.8y=-647.46 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Suma -\frac{351x}{50} a \frac{351x}{50}. -\frac{351x}{50} e \frac{351x}{50} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Suma -\frac{9y}{5} a \frac{39y}{10}.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

Suma -647.46 a 510.9 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$2.1y=-136.56$$

Divide ambos lados da ecuación entre 2.1, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

Substitúe y por -\frac{2276}{35} en -1.8x-y=-131. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

Resta \frac{2276}{35} en ambos lados da ecuación.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -1.8, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{2287}{21}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$