Resolver {c}{3x+y=60}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 60 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=30$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=60,x+y=40$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=60$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y+60$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+60\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+60.

$$x=-\frac{1}{3}y+20$$

Substitúe x por -\frac{y}{3}+20 na outra ecuación, x+y=40.

$$-\frac{1}{3}y+20+y=40$$

Suma -\frac{y}{3} a y.

$$\frac{2}{3}y+20=40$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2}{3}y=20$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=30$$

Substitúe y por 30 en x=-\frac{1}{3}y+20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times 30+20$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 30.

$$x=-10+20$$

Suma 20 a -10.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=30$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=60,x+y=40$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 60-\frac{1}{2}\times 40\\-\frac{1}{2}\times 60+\frac{3}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=30$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=60,x+y=40$$

Resta x+y=40 de 3x+y=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-x+y-y=60-40$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x-x=60-40$$

Suma 3x a -x.

$$2x=60-40$$

Suma 60 a -40.

$$2x=20$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=10$$

Substitúe x por 10 en x+y=40. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$10+y=40$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$y=30$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=30$$