Resolver {c}{3x+y=5}{-2x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=5$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y+5}{3} na outra ecuación, -2x+2y=7.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

Multiplica -2 por \frac{-y+5}{3}.

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

Suma \frac{2y}{3} a 2y.

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

Suma \frac{10}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{8}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{31}{8}$$

Substitúe y por \frac{31}{8} en x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por \frac{31}{8} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a -\frac{31}{24} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Para que 3x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

Simplifica.

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

Resta -6x+6y=21 de -6x-2y=-10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

Suma -6x a 6x. -6x e 6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-6y=-10-21$$

Suma -2y a -6y.

$$-8y=-10-21$$

Suma -10 a -21.

$$-8y=-31$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=\frac{31}{8}$$

Substitúe y por \frac{31}{8} en -2x+2y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

Multiplica 2 por \frac{31}{8}.

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

Resta \frac{31}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=\frac{3}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$