Resolver {c}{3x+y=2}{x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 2 } \\ { x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=2,x-y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=2$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y+2$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+2.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y+2}{3} na outra ecuación, x-y=-3.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}-y=-3$$

Suma -\frac{y}{3} a -y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}=-3$$

Resta \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{11}{4}$$

Substitúe y por \frac{11}{4} en x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{11}{4}+\frac{2}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por \frac{11}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{11}{12}+\frac{2}{3}$$

Suma \frac{2}{3} a -\frac{11}{12} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{11}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=2,x-y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{1}{4}\times 2-\frac{3}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{11}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=2,x-y=-3$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x+y=2,3x+3\left(-1\right)y=3\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$3x+y=2,3x-3y=-9$$

Resta 3x-3y=-9 de 3x+y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+y+3y=2+9$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+3y=2+9$$

Suma y a 3y.

$$4y=2+9$$

Suma 2 a 9.

$$4y=11$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{11}{4}$$

Substitúe y por \frac{11}{4} en x-y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\frac{11}{4}=-3$$

Suma \frac{11}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{11}{4}$$