Resolver {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-6$$

$$y=13$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y+5=0$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$3x+y=-5$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y-5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y-5.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y-5}{3} na outra ecuación, -2x-y+1=0.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

Multiplica -2 por \frac{-y-5}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

Suma \frac{2y}{3} a -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

Suma \frac{10}{3} a 1.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

Resta \frac{13}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=13$$

Substitúe y por 13 en x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 13.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

Suma -\frac{5}{3} a -\frac{13}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-6,y=13$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-6,y=13$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Para que 3x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

Simplifica.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

Resta -6x-3y+3=0 de -6x-2y-10=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

Suma -6x a 6x. -6x e 6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y+3y-10-3=0$$

Suma -2y a 3y.

$$y-10-3=0$$

Suma -10 a -3.

$$y-13=0$$

Suma 13 en ambos lados da ecuación.

$$y=13$$

Substitúe y por 13 en -2x-y+1=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-13+1=0$$

Suma -13 a 1.

$$-2x-12=0$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=12$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-6,y=13$$