Resolver {c}{3x+4y=12}{x+6y=-16}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 12 } \\ { x + 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7} \approx 9.714285714$$

$$y = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=12$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y+12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y+12.

$$x=-\frac{4}{3}y+4$$

Substitúe x por -\frac{4y}{3}+4 na outra ecuación, x+6y=-16.

$$-\frac{4}{3}y+4+6y=-16$$

Suma -\frac{4y}{3} a 6y.

$$\frac{14}{3}y+4=-16$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{14}{3}y=-20$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{14}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{30}{7}$$

Substitúe y por -\frac{30}{7} en x=-\frac{4}{3}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)+4$$

Multiplica -\frac{4}{3} por -\frac{30}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{40}{7}+4$$

Suma 4 a \frac{40}{7}.

$$x=\frac{68}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4}&-\frac{4}{3\times 6-4}\\-\frac{1}{3\times 6-4}&\frac{3}{3\times 6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\left(-16\right)\\-\frac{1}{14}\times 12+\frac{3}{14}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{68}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x+4y=12,3x+3\times 6y=3\left(-16\right)$$

Simplifica.

$$3x+4y=12,3x+18y=-48$$

Resta 3x+18y=-48 de 3x+4y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+4y-18y=12+48$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-18y=12+48$$

Suma 4y a -18y.

$$-14y=12+48$$

Suma 12 a 48.

$$-14y=60$$

Divide ambos lados entre -14.

$$y=-\frac{30}{7}$$

Substitúe y por -\frac{30}{7} en x+6y=-16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+6\left(-\frac{30}{7}\right)=-16$$

Multiplica 6 por -\frac{30}{7}.

$$x-\frac{180}{7}=-16$$

Suma \frac{180}{7} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{68}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$