Resolver {c}{3x+2y=32}{365x+226y=35.92}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 35.92 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{44751}{325} = -137\frac{226}{325} \approx -137.695384615$$

$$y = \frac{144653}{650} = 222\frac{353}{650} \approx 222.543076923$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=32$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+32$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y+32}{3} na outra ecuación, 365x+226y=35.92.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=35.92$$

Multiplica 365 por \frac{-2y+32}{3}.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=35.92$$

Suma -\frac{730y}{3} a 226y.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=35.92$$

Resta \frac{11680}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{289306}{75}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{52}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{144653}{650}$$

Substitúe y por \frac{144653}{650} en x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{144653}{650}+\frac{32}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por \frac{144653}{650} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{144653}{975}+\frac{32}{3}$$

Suma \frac{32}{3} a -\frac{144653}{975} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{44751}{325}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 35.92\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 35.92\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{44751}{325}\\\frac{144653}{650}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

Para que 3x e 365x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 365 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 35.92$$

Simplifica.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=107.76$$

Resta 1095x+678y=107.76 de 1095x+730y=11680 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-107.76$$

Suma 1095x a -1095x. 1095x e -1095x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$730y-678y=11680-107.76$$

Suma 730y a -678y.

$$52y=11680-107.76$$

Suma 11680 a -107.76.

$$52y=11572.24$$

Divide ambos lados entre 52.

$$y=\frac{144653}{650}$$

Substitúe y por \frac{144653}{650} en 365x+226y=35.92. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$365x+226\times \frac{144653}{650}=35.92$$

Multiplica 226 por \frac{144653}{650}.

$$365x+\frac{16345789}{325}=35.92$$

Resta \frac{16345789}{325} en ambos lados da ecuación.

$$365x=-\frac{3266823}{65}$$

Divide ambos lados entre 365.

$$x=-\frac{44751}{325}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$