Resolver {c}{3a=c+4+a/2}{a=c}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 a = c + 4 + \frac { a } { 2 } } \\ { a = c } \end{array} \right.$$

Resolver a, c

$$a = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$c = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$6a=2c+8+a$$

Resta 2c en ambos lados.

$$6a-2c=8+a$$

Resta a en ambos lados.

$$6a-2c-a=8$$

Combina 6a e -a para obter 5a.

$$5a-2c=8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta c en ambos lados.

$$a-c=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5a-2c=8,a-c=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$5a-2c=8$$

Suma 2c en ambos lados da ecuación.

$$5a=2c+8$$

Divide ambos lados entre 5.

$$a=\frac{1}{5}\left(2c+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 8+2c.

$$a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}$$

Substitúe a por \frac{8+2c}{5} na outra ecuación, a-c=0.

$$\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}-c=0$$

Suma \frac{2c}{5} a -c.

$$-\frac{3}{5}c+\frac{8}{5}=0$$

Resta \frac{8}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{5}c=-\frac{8}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$c=\frac{8}{3}$$

Substitúe c por \frac{8}{3} en a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=\frac{2}{5}\times \frac{8}{3}+\frac{8}{5}$$

Multiplica \frac{2}{5} por \frac{8}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{16}{15}+\frac{8}{5}$$

Suma \frac{8}{5} a \frac{16}{15} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{8}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$6a=2c+8+a$$

Resta 2c en ambos lados.

$$6a-2c=8+a$$

Resta a en ambos lados.

$$6a-2c-a=8$$

Combina 6a e -a para obter 5a.

$$5a-2c=8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta c en ambos lados.

$$a-c=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5a-2c=8,a-c=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e c.

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$6a=2c+8+a$$

Resta 2c en ambos lados.

$$6a-2c=8+a$$

Resta a en ambos lados.

$$6a-2c-a=8$$

Combina 6a e -a para obter 5a.

$$5a-2c=8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta c en ambos lados.

$$a-c=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5a-2c=8,a-c=0$$

Para que 5a e a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$5a-2c=8,5a+5\left(-1\right)c=0$$

Simplifica.

$$5a-2c=8,5a-5c=0$$

Resta 5a-5c=0 de 5a-2c=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5a-5a-2c+5c=8$$

Suma 5a a -5a. 5a e -5a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2c+5c=8$$

Suma -2c a 5c.

$$3c=8$$

Divide ambos lados entre 3.

$$c=\frac{8}{3}$$

Substitúe c por \frac{8}{3} en a-c=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a-\frac{8}{3}=0$$

Suma \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$a=\frac{8}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$