Resolver {c}{2.7x+3.1y=42.5}{x+y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 2.7 x + 3.1 y = 42.5 } \\ { x + y = 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2.7x+3.1y=42.5$$

Resta \frac{31y}{10} en ambos lados da ecuación.

$$2.7x=-3.1y+42.5$$

Divide ambos lados da ecuación entre 2.7, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{10}{27}\left(-3.1y+42.5\right)$$

Multiplica \frac{10}{27} por -\frac{31y}{10}+42.5.

$$x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}$$

Substitúe x por \frac{-31y+425}{27} na outra ecuación, x+y=15.

$$-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}+y=15$$

Suma -\frac{31y}{27} a y.

$$-\frac{4}{27}y+\frac{425}{27}=15$$

Resta \frac{425}{27} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{4}{27}y=-\frac{20}{27}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{4}{27}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{31}{27}\times 5+\frac{425}{27}$$

Multiplica -\frac{31}{27} por 5.

$$x=\frac{-155+425}{27}$$

Suma \frac{425}{27} a -\frac{155}{27} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2.7-3.1}&-\frac{3.1}{2.7-3.1}\\-\frac{1}{2.7-3.1}&\frac{2.7}{2.7-3.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5&7.75\\2.5&-6.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5\times 42.5+7.75\times 15\\2.5\times 42.5-6.75\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Para que \frac{27x}{10} e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.7.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=2.7\times 15$$

Simplifica.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=40.5$$

Resta 2.7x+2.7y=40.5 de 2.7x+3.1y=42.5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2.7x-2.7x+3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

Suma \frac{27x}{10} a -\frac{27x}{10}. \frac{27x}{10} e -\frac{27x}{10} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

Suma \frac{31y}{10} a -\frac{27y}{10}.

$$0.4y=\frac{85-81}{2}$$

Suma 42.5 a -40.5 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$0.4y=2$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.4, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x+y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+5=15$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=5$$