Resolver {c}{2x-y=17}{x-y=10}{text{AfterBritainsm}}{text{BattleofTrafals}}{text{economicwarfa}}{text{whichclosedEu}}{text{goods.}}{text{a.}(3,-5)}{text{b.}(9,19)}{text{c.}(7,-3)}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x - y = 17 } \\ { x - y = 10 } \\ { \text { After Britain sm } } \\ { \text { Battle of Trafals } } \\ { \text { economic warfa } } \\ { \text { which closed Eu } } \\ { \text { goods. } } \\ { \text { a. } ( 3 , - 5 ) } \\ { \text { b. } ( 9,19 ) } \\ { \text { c. } ( 7 , - 3 ) } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=17,x-y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=17$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+17$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+17\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+17.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}$$

Substitúe x por \frac{17+y}{2} na outra ecuación, x-y=10.

$$\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}-y=10$$

Suma \frac{y}{2} a -y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}=10$$

Resta \frac{17}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3\right)+\frac{17}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3.

$$x=\frac{-3+17}{2}$$

Suma \frac{17}{2} a -\frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=17,x-y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17-10\\17-2\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=17,x-y=10$$

Resta x-y=10 de 2x-y=17 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-x-y+y=17-10$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-x=17-10$$

Suma 2x a -x.

$$x=17-10$$

Suma 17 a -10.

$$x=7$$

Substitúe x por 7 en x-y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$7-y=10$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$-y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=-3$$