Resolver {c}{2x+y=5}{-4x+6y=12}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 5 } \\ { - 4 x + 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=5$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+5}{2} na outra ecuación, -4x+6y=12.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=12$$

Multiplica -4 por \frac{-y+5}{2}.

$$2y-10+6y=12$$

Suma 2y a 6y.

$$8y-10=12$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$8y=22$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=\frac{11}{4}$$

Substitúe y por \frac{11}{4} en x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{11}{4}+\frac{5}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por \frac{11}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{11}{8}+\frac{5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a -\frac{11}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{9}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{16}\times 12\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Para que 2x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-4\times 2x-4y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\times 6y=2\times 12$$

Simplifica.

$$-8x-4y=-20,-8x+12y=24$$

Resta -8x+12y=24 de -8x-4y=-20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x-4y-12y=-20-24$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-12y=-20-24$$

Suma -4y a -12y.

$$-16y=-20-24$$

Suma -20 a -24.

$$-16y=-44$$

Divide ambos lados entre -16.

$$y=\frac{11}{4}$$

Substitúe y por \frac{11}{4} en -4x+6y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+6\times \frac{11}{4}=12$$

Multiplica 6 por \frac{11}{4}.

$$-4x+\frac{33}{2}=12$$

Resta \frac{33}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-\frac{9}{2}$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=\frac{9}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$