Resolver {c}{2x+y=3}{-2x-4y=-1}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 3 } \\ { - 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6} \approx 1.833333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=3$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+3$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+3}{2} na outra ecuación, -2x-4y=-1.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-4y=-1$$

Multiplica -2 por \frac{-y+3}{2}.

$$y-3-4y=-1$$

Suma y a -4y.

$$-3y-3=-1$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=2$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Substitúe y por -\frac{2}{3} en x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -\frac{2}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a \frac{1}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{11}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

Para que 2x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2\times 2x-2y=-2\times 3,2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$-4x-2y=-6,-4x-8y=-2$$

Resta -4x-8y=-2 de -4x-2y=-6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x-2y+8y=-6+2$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y+8y=-6+2$$

Suma -2y a 8y.

$$6y=-6+2$$

Suma -6 a 2.

$$6y=-4$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Substitúe y por -\frac{2}{3} en -2x-4y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-4\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$$

Multiplica -4 por -\frac{2}{3}.

$$-2x+\frac{8}{3}=-1$$

Resta \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-\frac{11}{3}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=\frac{11}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$