Resolver {c}{2x+9y=-7}{6x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 9 y = - 7 } \\ { 6 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+9y=-7$$

Resta 9y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-9y-7$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y-7\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -9y-7.

$$x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}$$

Substitúe x por \frac{-9y-7}{2} na outra ecuación, 6x-3y=9.

$$6\left(-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}\right)-3y=9$$

Multiplica 6 por \frac{-9y-7}{2}.

$$-27y-21-3y=9$$

Suma -27y a -3y.

$$-30y-21=9$$

Suma 21 en ambos lados da ecuación.

$$-30y=30$$

Divide ambos lados entre -30.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{9}{2}\left(-1\right)-\frac{7}{2}$$

Multiplica -\frac{9}{2} por -1.

$$x=\frac{9-7}{2}$$

Suma -\frac{7}{2} a \frac{9}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-9\times 6}&-\frac{9}{2\left(-3\right)-9\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-9\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-9\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-7\right)+\frac{3}{20}\times 9\\\frac{1}{10}\left(-7\right)-\frac{1}{30}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Para que 2x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$6\times 2x+6\times 9y=6\left(-7\right),2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 9$$

Simplifica.

$$12x+54y=-42,12x-6y=18$$

Resta 12x-6y=18 de 12x+54y=-42 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+54y+6y=-42-18$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$54y+6y=-42-18$$

Suma 54y a 6y.

$$60y=-42-18$$

Suma -42 a -18.

$$60y=-60$$

Divide ambos lados entre 60.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 6x-3y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x-3\left(-1\right)=9$$

Multiplica -3 por -1.

$$6x+3=9$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$6x=6$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$