Resolver {c}{2x+5y=3}{y+x=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 5 y = 3 } \\ { y + x = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+5y=3,x+y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+5y=3$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-5y+3$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5y+3.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{-5y+3}{2} na outra ecuación, x+y=2.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+y=2$$

Suma -\frac{5y}{2} a y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=2$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Substitúe y por -\frac{1}{3} en x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

Multiplica -\frac{5}{2} por -\frac{1}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{6}+\frac{3}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a \frac{5}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{7}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+5y=3,x+y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5}&-\frac{5}{2-5}\\-\frac{1}{2-5}&\frac{2}{2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3+\frac{5}{3}\times 2\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+5y=3,x+y=2$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+5y=3,2x+2y=2\times 2$$

Simplifica.

$$2x+5y=3,2x+2y=4$$

Resta 2x+2y=4 de 2x+5y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+5y-2y=3-4$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y-2y=3-4$$

Suma 5y a -2y.

$$3y=3-4$$

Suma 3 a -4.

$$3y=-1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Substitúe y por -\frac{1}{3} en x+y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\frac{1}{3}=2$$

Suma \frac{1}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{7}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{1}{3}$$