Resolver {c}{2x+3y-10=0}{4x=3y+20}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y - 10 = 0 } \\ { 4 x = 3 y + 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 10 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x+3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$4x-3y=20$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=10$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+5 na outra ecuación, 4x-3y=20.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)-3y=20$$

Multiplica 4 por -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20-3y=20$$

Suma -6y a -3y.

$$-9y+20=20$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$-9y=0$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=-\frac{3}{2}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 10 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x+3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$4x-3y=20$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{9}\times 10-\frac{1}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 10 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x+3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$4x-3y=20$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 20$$

Simplifica.

$$8x+12y=40,8x-6y=40$$

Resta 8x-6y=40 de 8x+12y=40 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+12y+6y=40-40$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y+6y=40-40$$

Suma 12y a 6y.

$$18y=40-40$$

Suma 40 a -40.

$$18y=0$$

Divide ambos lados entre 18.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 4x-3y=20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x=20$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=0$$