Resolver {c}{2x+3y=13}{x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=13,x+2y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=13$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+13$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+13.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Substitúe x por \frac{-3y+13}{2} na outra ecuación, x+2y=9.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}+2y=9$$

Suma -\frac{3y}{2} a 2y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}=9$$

Resta \frac{13}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 5+\frac{13}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 5.

$$x=\frac{-15+13}{2}$$

Suma \frac{13}{2} a -\frac{15}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=13,x+2y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 13-3\times 9\\-13+2\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=13,x+2y=9$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+3y=13,2x+2\times 2y=2\times 9$$

Simplifica.

$$2x+3y=13,2x+4y=18$$

Resta 2x+4y=18 de 2x+3y=13 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+3y-4y=13-18$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-4y=13-18$$

Suma 3y a -4y.

$$-y=13-18$$

Suma 13 a -18.

$$-y=-5$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x+2y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+2\times 5=9$$

Multiplica 2 por 5.

$$x+10=9$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=5$$