Resolver {c}{2x+3y=-10}{x+4y=5}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = - 10 } \\ { x + 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-11$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=-10,x+4y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=-10$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y-10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y-10.

$$x=-\frac{3}{2}y-5$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}-5 na outra ecuación, x+4y=5.

$$-\frac{3}{2}y-5+4y=5$$

Suma -\frac{3y}{2} a 4y.

$$\frac{5}{2}y-5=5$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{2}y=10$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=-\frac{3}{2}y-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 4-5$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 4.

$$x=-6-5$$

Suma -5 a -6.

$$x=-11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-11,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=-10,x+4y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3}&-\frac{3}{2\times 4-3}\\-\frac{1}{2\times 4-3}&\frac{2}{2\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-10\right)-\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{1}{5}\left(-10\right)+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-11,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=-10,x+4y=5$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+3y=-10,2x+2\times 4y=2\times 5$$

Simplifica.

$$2x+3y=-10,2x+8y=10$$

Resta 2x+8y=10 de 2x+3y=-10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+3y-8y=-10-10$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-8y=-10-10$$

Suma 3y a -8y.

$$-5y=-10-10$$

Suma -10 a -10.

$$-5y=-20$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x+4y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+4\times 4=5$$

Multiplica 4 por 4.

$$x+16=5$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$x=-11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-11,y=4$$