Resolver {c}{2x+2y=4}{-2x+3y=-9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { - 2 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+2y=4$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-2y+4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -2y+4.

$$x=-y+2$$

Substitúe x por -y+2 na outra ecuación, -2x+3y=-9.

$$-2\left(-y+2\right)+3y=-9$$

Multiplica -2 por -y+2.

$$2y-4+3y=-9$$

Suma 2y a 3y.

$$5y-4=-9$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$5y=-5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-1\right)+2$$

Multiplica -1 por -1.

$$x=1+2$$

Suma 2 a 1.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\left(-9\right)\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

Para que 2x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2\times 2x-2\times 2y=-2\times 4,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\left(-9\right)$$

Simplifica.

$$-4x-4y=-8,-4x+6y=-18$$

Resta -4x+6y=-18 de -4x-4y=-8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x-4y-6y=-8+18$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-6y=-8+18$$

Suma -4y a -6y.

$$-10y=-8+18$$

Suma -8 a 18.

$$-10y=10$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -2x+3y=-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+3\left(-1\right)=-9$$

Multiplica 3 por -1.

$$-2x-3=-9$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-6$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-1$$