Resolver {c}{19x+19y=40}{3x+8y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 19 x + 19 y = 40 } \\ { 3 x + 8 y = 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{7}{19}\approx 0.368421053$$

$$y = \frac{33}{19} = 1\frac{14}{19} \approx 1.736842105$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$19x+19y=40,3x+8y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$19x+19y=40$$

Resta 19y en ambos lados da ecuación.

$$19x=-19y+40$$

Divide ambos lados entre 19.

$$x=\frac{1}{19}\left(-19y+40\right)$$

Multiplica \frac{1}{19} por -19y+40.

$$x=-y+\frac{40}{19}$$

Substitúe x por -y+\frac{40}{19} na outra ecuación, 3x+8y=15.

$$3\left(-y+\frac{40}{19}\right)+8y=15$$

Multiplica 3 por -y+\frac{40}{19}.

$$-3y+\frac{120}{19}+8y=15$$

Suma -3y a 8y.

$$5y+\frac{120}{19}=15$$

Resta \frac{120}{19} en ambos lados da ecuación.

$$5y=\frac{165}{19}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=\frac{33}{19}$$

Substitúe y por \frac{33}{19} en x=-y+\frac{40}{19}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{33}{19}+\frac{40}{19}$$

Multiplica -1 por \frac{33}{19}.

$$x=\frac{-33+40}{19}$$

Suma \frac{40}{19} a -\frac{33}{19} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{7}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7}{19},y=\frac{33}{19}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$19x+19y=40,3x+8y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19\times 8-19\times 3}&-\frac{19}{19\times 8-19\times 3}\\-\frac{3}{19\times 8-19\times 3}&\frac{19}{19\times 8-19\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{95}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{95}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{95}\times 40-\frac{1}{5}\times 15\\-\frac{3}{95}\times 40+\frac{1}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\\\frac{33}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{7}{19},y=\frac{33}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$19x+19y=40,3x+8y=15$$

Para que 19x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 19.

$$3\times 19x+3\times 19y=3\times 40,19\times 3x+19\times 8y=19\times 15$$

Simplifica.

$$57x+57y=120,57x+152y=285$$

Resta 57x+152y=285 de 57x+57y=120 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$57x-57x+57y-152y=120-285$$

Suma 57x a -57x. 57x e -57x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$57y-152y=120-285$$

Suma 57y a -152y.

$$-95y=120-285$$

Suma 120 a -285.

$$-95y=-165$$

Divide ambos lados entre -95.

$$y=\frac{33}{19}$$

Substitúe y por \frac{33}{19} en 3x+8y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+8\times \frac{33}{19}=15$$

Multiplica 8 por \frac{33}{19}.

$$3x+\frac{264}{19}=15$$

Resta \frac{264}{19} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{21}{19}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{7}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7}{19},y=\frac{33}{19}$$