Resolver {c}{10a+b=10}{-a+b=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$10a+b=10$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$10a=-b+10$$

Divide ambos lados entre 10.

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por -b+10.

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

Substitúe a por -\frac{b}{10}+1 na outra ecuación, -a+b=2.

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

Multiplica -1 por -\frac{b}{10}+1.

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

Suma \frac{b}{10} a b.

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{10}b=3$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{10}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=\frac{30}{11}$$

Substitúe b por \frac{30}{11} en a=-\frac{1}{10}b+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

Multiplica -\frac{1}{10} por \frac{30}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

Suma 1 a -\frac{3}{11}.

$$a=\frac{8}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Resta -a+b=2 de 10a+b=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10a+a+b-b=10-2$$

Suma b a -b. b e -b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10a+a=10-2$$

Suma 10a a a.

$$11a=10-2$$

Suma 10 a -2.

$$11a=8$$

Divide ambos lados entre 11.

$$a=\frac{8}{11}$$

Substitúe a por \frac{8}{11} en -a+b=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

Suma \frac{8}{11} en ambos lados da ecuación.

$$b=\frac{30}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$