Resolver {c}{-7x-3y=-20}{3x+6y=-15}

$$\left. \begin{array} { c } { - 7 x - 3 y = - 20 } \\ { 3 x + 6 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-7x-3y=-20,3x+6y=-15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-7x-3y=-20$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$-7x=3y-20$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(3y-20\right)$$

Multiplica -\frac{1}{7} por 3y-20.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{20}{7}$$

Substitúe x por \frac{-3y+20}{7} na outra ecuación, 3x+6y=-15.

$$3\left(-\frac{3}{7}y+\frac{20}{7}\right)+6y=-15$$

Multiplica 3 por \frac{-3y+20}{7}.

$$-\frac{9}{7}y+\frac{60}{7}+6y=-15$$

Suma -\frac{9y}{7} a 6y.

$$\frac{33}{7}y+\frac{60}{7}=-15$$

Resta \frac{60}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{33}{7}y=-\frac{165}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{33}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en x=-\frac{3}{7}y+\frac{20}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-5\right)+\frac{20}{7}$$

Multiplica -\frac{3}{7} por -5.

$$x=\frac{15+20}{7}$$

Suma \frac{20}{7} a \frac{15}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-7x-3y=-20,3x+6y=-15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-7\times 6-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-7\times 6-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7\times 6-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{7}{-7\times 6-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-20\right)-\frac{1}{11}\left(-15\right)\\\frac{1}{11}\left(-20\right)+\frac{7}{33}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=-5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-7x-3y=-20,3x+6y=-15$$

Para que -7x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por -7.

$$3\left(-7\right)x+3\left(-3\right)y=3\left(-20\right),-7\times 3x-7\times 6y=-7\left(-15\right)$$

Simplifica.

$$-21x-9y=-60,-21x-42y=105$$

Resta -21x-42y=105 de -21x-9y=-60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-21x+21x-9y+42y=-60-105$$

Suma -21x a 21x. -21x e 21x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y+42y=-60-105$$

Suma -9y a 42y.

$$33y=-60-105$$

Suma -60 a -105.

$$33y=-165$$

Divide ambos lados entre 33.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en 3x+6y=-15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+6\left(-5\right)=-15$$

Multiplica 6 por -5.

$$3x-30=-15$$

Suma 30 en ambos lados da ecuación.

$$3x=15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-5$$