Resolver {c}{-5x+3y=-8}{-x-3y=2}(1,-1)

$$\left. \begin{array} { c } { - 5 x + 3 y = - 8 } \\ { - x - 3 y = 2 } \end{array} \right. ( 1 , - 1 )$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x+3y=-8$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-3y-8$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y-8\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -3y-8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

Substitúe x por \frac{3y+8}{5} na outra ecuación, -x-3y=2.

$$-\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y=2$$

Multiplica -1 por \frac{3y+8}{5}.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{8}{5}-3y=2$$

Suma -\frac{3y}{5} a -3y.

$$-\frac{18}{5}y-\frac{8}{5}=2$$

Suma \frac{8}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{18}{5}y=\frac{18}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{18}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{8}{5}$$

Multiplica \frac{3}{5} por -1.

$$x=\frac{-3+8}{5}$$

Suma \frac{8}{5} a -\frac{3}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{5}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{18}&-\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-8\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{1}{18}\left(-8\right)-\frac{5}{18}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

Para que -5x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$-\left(-5\right)x-3y=-\left(-8\right),-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 2$$

Simplifica.

$$5x-3y=8,5x+15y=-10$$

Resta 5x+15y=-10 de 5x-3y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x-3y-15y=8+10$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-15y=8+10$$

Suma -3y a -15y.

$$-18y=8+10$$

Suma 8 a 10.

$$-18y=18$$

Divide ambos lados entre -18.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -x-3y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x-3\left(-1\right)=2$$

Multiplica -3 por -1.

$$-x+3=2$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-1$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$