Resolver {c}{-3x+4y=20}{6x+3y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 4 y = 20 } \\ { 6 x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3x+4y=20,6x+3y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-3x+4y=20$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-4y+20$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4y+20\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -4y+20.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}$$

Substitúe x por \frac{-20+4y}{3} na outra ecuación, 6x+3y=15.

$$6\left(\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}\right)+3y=15$$

Multiplica 6 por \frac{-20+4y}{3}.

$$8y-40+3y=15$$

Suma 8y a 3y.

$$11y-40=15$$

Suma 40 en ambos lados da ecuación.

$$11y=55$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{3}\times 5-\frac{20}{3}$$

Multiplica \frac{4}{3} por 5.

$$x=\frac{20-20}{3}$$

Suma -\frac{20}{3} a \frac{20}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3x+4y=20,6x+3y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{-3\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{-3\times 3-4\times 6}&-\frac{3}{-3\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{4}{33}\\\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 20+\frac{4}{33}\times 15\\\frac{2}{11}\times 20+\frac{1}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3x+4y=20,6x+3y=15$$

Para que -3x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$6\left(-3\right)x+6\times 4y=6\times 20,-3\times 6x-3\times 3y=-3\times 15$$

Simplifica.

$$-18x+24y=120,-18x-9y=-45$$

Resta -18x-9y=-45 de -18x+24y=120 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-18x+18x+24y+9y=120+45$$

Suma -18x a 18x. -18x e 18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$24y+9y=120+45$$

Suma 24y a 9y.

$$33y=120+45$$

Suma 120 a 45.

$$33y=165$$

Divide ambos lados entre 33.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 6x+3y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+3\times 5=15$$

Multiplica 3 por 5.

$$6x+15=15$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$6x=0$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=5$$