Resolver {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=26$$

$$b=-38$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

Multiplica \frac{2}{3} por -b+1.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Substitúe a por \frac{-2b+2}{3} na outra ecuación, a+\frac{1}{2}b=7.

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

Suma -\frac{2b}{3} a \frac{b}{2}.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

Resta \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

Multiplica ambos lados por -6.

$$b=-38$$

Substitúe b por -38 en a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por -38.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

Suma \frac{2}{3} a \frac{76}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=26$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=26,b=-38$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=26,b=-38$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Para que \frac{3a}{2} e a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

Simplifica.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

Resta \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} de \frac{3}{2}a+b=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Suma \frac{3a}{2} a -\frac{3a}{2}. \frac{3a}{2} e -\frac{3a}{2} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Suma b a -\frac{3b}{4}.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Suma 1 a -\frac{21}{2}.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

Multiplica ambos lados por 4.

$$b=-38$$

Substitúe b por -38 en a+\frac{1}{2}b=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

Multiplica \frac{1}{2} por -38.

$$a-19=7$$

Suma 19 en ambos lados da ecuación.

$$a=26$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=26,b=-38$$