Resolver {c}{1/2a+b=-2}{a-2b=8}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } a + b = - 2 } \\ { a - 2 b = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=2$$

$$b=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{2}a+b=-2$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}a=-b-2$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$a=2\left(-b-2\right)$$

Multiplica 2 por -b-2.

$$a=-2b-4$$

Substitúe a por -2b-4 na outra ecuación, a-2b=8.

$$-2b-4-2b=8$$

Suma -2b a -2b.

$$-4b-4=8$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$-4b=12$$

Divide ambos lados entre -4.

$$b=-3$$

Substitúe b por -3 en a=-2b-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-2\left(-3\right)-4$$

Multiplica -2 por -3.

$$a=6-4$$

Suma -4 a 6.

$$a=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=2,b=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=2,b=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

Para que \frac{a}{2} e a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\left(-2\right)b=\frac{1}{2}\times 8$$

Simplifica.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a-b=4$$

Resta \frac{1}{2}a-b=4 de \frac{1}{2}a+b=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+b+b=-2-4$$

Suma \frac{a}{2} a -\frac{a}{2}. \frac{a}{2} e -\frac{a}{2} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$b+b=-2-4$$

Suma b a b.

$$2b=-2-4$$

Suma -2 a -4.

$$2b=-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$b=-3$$

Substitúe b por -3 en a-2b=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a-2\left(-3\right)=8$$

Multiplica -2 por -3.

$$a+6=8$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$a=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=2,b=-3$$