Resolver {c}{1/10x+1/2y=1}{2x-10y=-20}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { 2 x - 10 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1$$

Resta \frac{y}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{10}x=-\frac{1}{2}y+1$$

Multiplica ambos lados por 10.

$$x=10\left(-\frac{1}{2}y+1\right)$$

Multiplica 10 por -\frac{y}{2}+1.

$$x=-5y+10$$

Substitúe x por -5y+10 na outra ecuación, 2x-10y=-20.

$$2\left(-5y+10\right)-10y=-20$$

Multiplica 2 por -5y+10.

$$-10y+20-10y=-20$$

Suma -10y a -10y.

$$-20y+20=-20$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$-20y=-40$$

Divide ambos lados entre -20.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-5y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5\times 2+10$$

Multiplica -5 por 2.

$$x=-10+10$$

Suma 10 a -10.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\\-\frac{2}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&\frac{1}{4}\\1&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5+\frac{1}{4}\left(-20\right)\\1-\frac{1}{20}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Para que \frac{x}{10} e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{1}{10}.

$$2\times \frac{1}{10}x+2\times \frac{1}{2}y=2,\frac{1}{10}\times 2x+\frac{1}{10}\left(-10\right)y=\frac{1}{10}\left(-20\right)$$

Simplifica.

$$\frac{1}{5}x+y=2,\frac{1}{5}x-y=-2$$

Resta \frac{1}{5}x-y=-2 de \frac{1}{5}x+y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}x+y+y=2+2$$

Suma \frac{x}{5} a -\frac{x}{5}. \frac{x}{5} e -\frac{x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+y=2+2$$

Suma y a y.

$$2y=2+2$$

Suma 2 a 2.

$$2y=4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x-10y=-20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-10\times 2=-20$$

Multiplica -10 por 2.

$$2x-20=-20$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$2x=0$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=2$$