Resolver {ccc}{1}&{1}&{k}{-18}&{0}&{0}{9}&{5}&{-5}

$$\left| \begin{array} { c c c } { 1 } & { 1 } & { k } \\ { - 18 } & { 0 } & { 0 } \\ { 9 } & { 5 } & { - 5 } \end{array} \right|$$

Calcular

$$-90k-90$$

Pasos con regra de Sarrus

Obtén o determinante da matriz usando o método de diagonais.

$$det(\left(\begin{matrix}1&1&k\\-18&0&0\\9&5&-5\end{matrix}\right))$$

Estende a matriz orixinal mediante a repetición das dúas primeiras columnas como as columnas cuarta e quinta.

$$\left(\begin{matrix}1&1&k&1&1\\-18&0&0&-18&0\\9&5&-5&9&5\end{matrix}\right)$$

Comezando na entrada superior esquerda, multiplica cara abaixo polas diagonais e suma os produtos resultantes.

$$k\left(-18\right)\times 5=-90k$$

Comezando na entrada inferior esquerda, multiplica cara arriba polas diagonais e suma os produtos resultantes.

$$-5\left(-18\right)=90$$

Resta a suma dos produtos de diagonais ascendentes á suma dos produtos de diagonais descendentes.

$$-90k-90$$

Pasos con expansión por menores

Obtén o determinante da matriz usando o método de expansión por cofactores (tamén coñecida como expansión por menores).

$$det(\left(\begin{matrix}1&1&k\\-18&0&0\\9&5&-5\end{matrix}\right))$$

Para expandir por menores, multiplica cada elemento da primeira fila polo seu menor, que é o determinante da matriz 2\times 2 creada ao eliminar a fila e a columna que conteñen ese elemento, e logo multiplica polo signo de posición do elemento.

$$det(\left(\begin{matrix}0&0\\5&-5\end{matrix}\right))-det(\left(\begin{matrix}-18&0\\9&-5\end{matrix}\right))+kdet(\left(\begin{matrix}-18&0\\9&5\end{matrix}\right))$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), o determinante é ad-bc.

$$-\left(-18\left(-5\right)\right)+k\left(-18\right)\times 5$$

Simplifica.

$$-90+k\left(-90\right)$$

Suma os termos para obter o resultado final.

$$-90k-90$$

Integrar w.r.t. k

$$С-45k^{2}-90k$$