Resolver {l}{x=5y-10}{-x-3y=34}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x = 5 y - 10 }\\{ - x - 3 y = 34 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-25$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 5y en ambos lados.

$$x-5y=-10$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-5y=-10,-x-3y=34$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-5y=-10$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$x=5y-10$$

Substitúe x por -10+5y na outra ecuación, -x-3y=34.

$$-\left(5y-10\right)-3y=34$$

Multiplica -1 por -10+5y.

$$-5y+10-3y=34$$

Suma -5y a -3y.

$$-8y+10=34$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$-8y=24$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=5y-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5\left(-3\right)-10$$

Multiplica 5 por -3.

$$x=-15-10$$

Suma -10 a -15.

$$x=-25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-25,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 5y en ambos lados.

$$x-5y=-10$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-5y=-10,-x-3y=34$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\34\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\34\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\34\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\34\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-3-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-3-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\34\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\\-\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\34\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\left(-10\right)-\frac{5}{8}\times 34\\-\frac{1}{8}\left(-10\right)-\frac{1}{8}\times 34\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-25,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 5y en ambos lados.

$$x-5y=-10$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-5y=-10,-x-3y=34$$

Para que x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-x-\left(-5y\right)=-\left(-10\right),-x-3y=34$$

Simplifica.

$$-x+5y=10,-x-3y=34$$

Resta -x-3y=34 de -x+5y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x+5y+3y=10-34$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y+3y=10-34$$

Suma 5y a 3y.

$$8y=10-34$$

Suma 10 a -34.

$$8y=-24$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en -x-3y=34. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x-3\left(-3\right)=34$$

Multiplica -3 por -3.

$$-x+9=34$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$-x=25$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-25,y=-3$$