Resolver {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Combina 60y e -40y para obter 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Resta 12x en ambos lados.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Combina 9x e -12x para obter -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Resta 16y en ambos lados.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Combina 20y e -16y para obter 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Engadir 5 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-3x+4y=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+3y=10$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-3y+10$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -3y+10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} na outra ecuación, -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

Multiplica -3 por -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

Suma \frac{9y}{4} a 4y.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

Suma \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{25}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por 2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a -\frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Combina 60y e -40y para obter 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Resta 12x en ambos lados.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Combina 9x e -12x para obter -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Resta 16y en ambos lados.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Combina 20y e -16y para obter 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Engadir 5 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-3x+4y=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Combina 60y e -40y para obter 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Resta 12x en ambos lados.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Combina 9x e -12x para obter -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Resta 16y en ambos lados.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Combina 20y e -16y para obter 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Engadir 5 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-3x+4y=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Para que 4x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

Simplifica.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

Resta -12x+16y=20 de -12x-9y=-30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

Suma -12x a 12x. -12x e 12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-16y=-30-20$$

Suma -9y a -16y.

$$-25y=-30-20$$

Suma -30 a -20.

$$-25y=-50$$

Divide ambos lados entre -25.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en -3x+4y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+4\times 2=5$$

Multiplica 4 por 2.

$$-3x+8=5$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-3$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$