Resolver {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

Resolver u, v

$$u=25$$

$$v=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a u mediante o illamento de u no lado esquerdo do signo igual.

$$u-30v=-65$$

Suma 30v en ambos lados da ecuación.

$$u=30v-65$$

Substitúe u por 30v-65 na outra ecuación, -3u+80v=165.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

Multiplica -3 por 30v-65.

$$-90v+195+80v=165$$

Suma -90v a 80v.

$$-10v+195=165$$

Resta 195 en ambos lados da ecuación.

$$-10v=-30$$

Divide ambos lados entre -10.

$$v=3$$

Substitúe v por 3 en u=30v-65. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar u directamente.

$$u=30\times 3-65$$

Multiplica 30 por 3.

$$u=90-65$$

Suma -65 a 90.

$$u=25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$u=25,v=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz u e v.

$$u=25,v=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Para que u e -3u sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

Simplifica.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

Resta -3u+80v=165 de -3u+90v=195 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

Suma -3u a 3u. -3u e 3u anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$90v-80v=195-165$$

Suma 90v a -80v.

$$10v=195-165$$

Suma 195 a -165.

$$10v=30$$

Divide ambos lados entre 10.

$$v=3$$

Substitúe v por 3 en -3u+80v=165. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar u directamente.

$$-3u+80\times 3=165$$

Multiplica 80 por 3.

$$-3u+240=165$$

Resta 240 en ambos lados da ecuación.

$$-3u=-75$$

Divide ambos lados entre -3.

$$u=25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$u=25,v=3$$