Resolver {r}{6x-5y=14}{-3x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x - 5 y = 14 } \\ { - 3 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x-5y=14$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$6x=5y+14$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+14\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por 5y+14.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}$$

Substitúe x por \frac{5y}{6}+\frac{7}{3} na outra ecuación, -3x+5y=-2.

$$-3\left(\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}\right)+5y=-2$$

Multiplica -3 por \frac{5y}{6}+\frac{7}{3}.

$$-\frac{5}{2}y-7+5y=-2$$

Suma -\frac{5y}{2} a 5y.

$$\frac{5}{2}y-7=-2$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{2}y=5$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{6}\times 2+\frac{7}{3}$$

Multiplica \frac{5}{6} por 2.

$$x=\frac{5+7}{3}$$

Suma \frac{7}{3} a \frac{5}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{6}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 14+\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

Para que 6x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$-3\times 6x-3\left(-5\right)y=-3\times 14,6\left(-3\right)x+6\times 5y=6\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$-18x+15y=-42,-18x+30y=-12$$

Resta -18x+30y=-12 de -18x+15y=-42 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-18x+18x+15y-30y=-42+12$$

Suma -18x a 18x. -18x e 18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y-30y=-42+12$$

Suma 15y a -30y.

$$-15y=-42+12$$

Suma -42 a 12.

$$-15y=-30$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en -3x+5y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+5\times 2=-2$$

Multiplica 5 por 2.

$$-3x+10=-2$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-12$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$