Resolver {r}{6x+y=4}{x-4y=19}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x + y = 4 } \\ { x - 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+y=4$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-y+4$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -y+4.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

Substitúe x por -\frac{y}{6}+\frac{2}{3} na outra ecuación, x-4y=19.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

Suma -\frac{y}{6} a -4y.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

Resta \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{25}{6}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{22}{5}$$

Substitúe y por -\frac{22}{5} en x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{6} por -\frac{22}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

Suma \frac{2}{3} a \frac{11}{15} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{7}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Para que 6x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

Simplifica.

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

Resta 6x-24y=114 de 6x+y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+24y=4-114$$

Suma y a 24y.

$$25y=4-114$$

Suma 4 a -114.

$$25y=-110$$

Divide ambos lados entre 25.

$$y=-\frac{22}{5}$$

Substitúe y por -\frac{22}{5} en x-4y=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

Multiplica -4 por -\frac{22}{5}.

$$x+\frac{88}{5}=19$$

Resta \frac{88}{5} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{7}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$